本文主要從歷史的角度來看Liouville定理。所謂Liouville定理是指
$n\geq 3$維的保角變換，其實就是Mobius變
變換$x=(x^1,x^2,...,x^n) \rightarrow y=(y^1,y^2,...,y^n)$
稱為保角是指$|dy|=\lambda(x)|dx|$，其中$\lambda \geq 0$。
令$dx=(dx^1,dx^2,...,dx^n)$，$ dy=(dy^1,dy^2,...,dy^n)$代入，有
$$(dy^1)^2+(dy^2)^2+...+(dy^n)^2=\lambda^2(x)[(dx^1)^2+(dx^2)^2+...+(dx^n)^2]$$
設$A\in L(\Re^n,\Re^n)$使得：$(dy^1,dy^2,...,dy^n)=A(dx^1,dx^2,...,dx^n)$，則
$A^*A=I_n \lambda^2(x)$且$det(A)=\lambda(x) \geq 0$。
Liouville定理最先是Liouville於1850發表於法文期刊Application de l\'analyse[L]上，
他考慮三維Euclid空間變換$(x,y,z) \rightarrow (\zeta,\eta,\xi)$，若變換滿足下列方程：
$$d\zeta^2+d\eta^2+d\xi^2 = \lambda^2(dx^2+dy^2+dz^2)$$
其中$\lambda=\lambda(x,y,z) \geq 0$。Liouville證明其實$\lambda$只會滿足下列情況：
$$(1)\lambda=\mbox{常數；}(2)\lambda=\frac{c}{x^2+y^2+z^2} \mbox{。}$$
\begin{flushleft}
原先預想$\lambda$可能很複雜，但是最後總能簡化成上面非常簡單的型式。由此可解得滿足該變換條件只有是Mobius變換。
\end{flushleft}
在Liouville之後，許多人嘗試放寬限制，使得用最少的條件，我們照樣可以得到同樣的好結果。
到目前為止，所得到的最好結果是Gehring[G2]於1961年所給出的，之後的只作稍微的修正如[R3][Bo]。
本文中給出最近1990年[AVV]用擬保角得到的最新知識，給出較為簡潔的證明。

本文主要從歷史的角度來看Liouville定理。所謂Liouville定理是指
$n\geq 3$維的保角變換，其實就是Mobius變換。
變換$x=(x^1,x^2,...,x^n) \rightarrow y=(y^1,y^2,...,y^n)$
稱為保角是指$|dy|=\lambda(x)|dx|$，其中$\lambda \geq 0$。
令$dx=(dx^1,dx^2,...,dx^n)$，$ dy=(dy^1,dy^2,...,dy^n)$代入，有
$$(dy^1)^2+(dy^2)^2+...+(dy^n)^2=\lambda^2(x)[(dx^1)^2+(dx^2)^2+...+(dx^n)^2]$$
設$A\in L(\Re^n,\Re^n)$使得：$(dy^1,dy^2,...,dy^n)=A(dx^1,dx^2,...,dx^n)$，則
$A^*A=I_n \lambda^2(x)$且$det(A)=\lambda(x) \geq 0$。
Liouville定理最先是Liouville於1850發表於法文期刊Application de l\'analyse[L]上，
他考慮三維Euclid空間變換$(x,y,z) \rightarrow (\zeta,\eta,\xi)$，若變換滿足下列方程：
$$d\zeta^2+d\eta^2+d\xi^2 = \lambda^2(dx^2+dy^2+dz^2)$$
其中$\lambda=\lambda(x,y,z) \geq 0$。Liouville證明其實$\lambda$只會滿足下列情況：
$$(1)\lambda=\mbox{常數；}(2)\lambda=\frac{c}{x^2+y^2+z^2} \mbox{。}$$
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原先預想$\lambda$可能很複雜，但是最後總能簡化成上面非常簡單的型式。由此可解得滿足該變換條件只有是Mobius變換。
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在Liouville之後，許多人嘗試放寬限制，使得用最少的條件，我們照樣可以得到同樣的好結果。
到目前為止，所得到的最好結果是Gehring[G2]於1961年所給出的，之後的只作稍微的修正如[R3][Bo]。
本文中給出最近1990年[AVV]用擬保角得到的最新知識，給出較為簡潔的證明。

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[Be]A.F.Beardon:The geometry of discrete groups.-Graduate Texts in Math.Vol.91, Springer-Verlag,(1982)。
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[Bi]L.Bianchi:Lesionidi Geometria differenziale.-Disa,496-462(1984)。
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[Bo]B.Bojarski and T.Iwaniec:Another Approach to Liouville Theorem. -Math,Nachr.107,253-262(1982)。
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\begin{flushleft}
[G1]F.W.Gehring:Symmetrization of rings in space.-Trans,Amer,Math.Soc.101,499-519(1961)。
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[G2]F.W.Gehring:Rings and Quasiconformal Mappings in Space.-Trans,Amer,Math.Soc.101,499-519(1961)。
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\begin{flushleft}
[H1]Philip Hartman:Systems of total differential equations and Liouville's theorem on conformal mappings.-Amer.J.Math.69,3237-332(1947)。
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\begin{flushleft}
[H2]Philip Hartman: On Isometries and on a Theorem of Liouville .-Math.Zeitschr.Bd.69,S.202-210(1958)。
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\begin{flushleft}
[L]J.Liouville:
Extension au cas des trois dimesions de la question du trace\'e g\'eograhpique.-Application de l\'analyse,Praris,Bachelier,(1850)。
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[N]Rolf Nevanlinna:On differentiable Mappings.-Analytic functions.-Die Grundlehren der Math.Wissenschaften,Vol 162,Spring-Verlag,(1970)。
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\begin{flushleft}
[R1]Yu.G.Reshetnyak:Estimates of Modulus of Continuity for some Mappings.-Sib.Matem.Zh.7,No.5,1106-1114(1966)。
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[R2]Yu.G.Reshetnyak:Stability of conformal Mappings in Mulitidimensional Space.-Sib.Matem.Zh.8,No.1,91-114(1967)。
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\begin{flushleft}
[R3]Yu.G.Reshetnyak:Liouville's Theorem on Conformal Mappings for Minimal regularity Assumptions.-Sib.Matem.Zh.8,No.4,835-840(1967)。
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[Ro]T.Rado and P.V. Reichfelder,-Continuous Transformations in Analysis,Springer(1955)。
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[V1]M.Vuorinen:Conformal invariants and quasiregular Mappings.-J.Anal.Math.45,49-115(1985)。
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\begin{flushleft}
[V2]M.Vuorinen:Quadruples ans Spatial quasiconformal mappings.-Math.Z.205,617-628(1990)。