不變量理論是1846年，三位英國數學家開始研究的。不變量（invariant）與固定域（fixed field）的探討在古典代數幾何、代數數論與交換代數上扮演著很重要的角色，很多代數上的問題或多或少都牽扯到不變量與固定域。我的這篇文章主要是想在多項式環裡考慮一個基礎但重要的環作用下的不變量的代數結構。也就是探討多項式環($k[x_1,...,x_n]$)在$GL(n,k)$的有限子群作用下的不變量和它的一些代數性質。我利用碩士班第二年的時間研讀了幾本這方面的書籍，做了一番整理，這就是這篇文章主要的內容。
不變量與固定域很早以前就開始被研究了，它可說是古典的(classical)數學。不變量在十九世紀的代數 (algebra) 和幾何(geometry)中扮演著重要的角色，因為許多的代數問題都牽扯到在自然轉換下(natural transformation)的不變量或對稱性(symmetry)。但是許多關於不變量的理論卻在二十世紀中葉被遺忘，因為我們無法計算出過大的群的作用。但是隨著電腦的出現與進步，使得不變量又復活了，透過電腦，我們可以計算出很複雜的有限群的作用，不變量也可以說是一門新的數學。希爾伯特 (Hilbert) 的三個不變量理論，the Nullstellensaz、the Basis Theorem andthe Syzygy Theorem，都對代數產生了極大的影響。希爾伯特可以用一種明確的有限步驟求出所有有限群的不變量來。誠如上述所說，許多代數問題都關係到轉換下的不變量。如：Properties in Euclidean geometry are invariant under the Euclidean geometry of rotations, reflections and translations. Properties in projectiongeometry are invariant under the group of projective transformation.本篇文章便是從很基礎的地方來看不變量。
在這一部份，我先介紹不變量的基本定義，並舉幾個例子。我們用$GL(n,k)$來代表所有可逆$n \times n$矩陣，其元素落在體$k$。如果$G\subset GL(n,k)$是一個有限群，我們用$\vert G \vert$來代表$G$中的元素個數，也就是$G$的秩（order）。我們現在來看$GL(n,k)$中的元素如何作用在$k[x_1,x_2,...,x_n]$上。如果$A=(a_{ij}) \in GL(n,k)$，$f({\x}) \in k[x_1,x_2,...,x_n]$。讓$A$作用在$f(\x)$上，$$f(A \cdot {\x})= f(a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n,...,a_{n1}x_1+...+a_{nn}x_n)$$
我們發現$f(A \cdot \x)$還是$k[x_1,x_2,...,x_n]$中的一個多項式。 \\\\
{\bf{範例}}
$f(x,y)=x^3+2xy^2-y^4 \in k[x,y]$， $A \in GL(2,k) $
$$A=\left(\matrix{-1?\cr 0?} \right)$$
$f(A \cdot {\x})= f(-x+2y,y)= -x^3+6x^2y-14xy^2+12y^3-y^4$\\
透過這種作用，我們發現有些多項式會被固定，也就是透過$A$矩陣作用後卻不改變。例如：$f(x,y)=y$。這種元素我們便稱之為不變量。\\\\
{\bf{定義1.1.1}}
{\it{設$G \subset GL(n,k)$是一個有限矩陣群，一個多項式$f({\x}) \in k[x_1,
x_2,...,x_n]$被稱為$G$作用下的不變量若對於所有的矩陣$A \in G$，
$$f(A \cdot {\x})= f(\x)$$}}
把所有這種的不變量收集起來，記做$k[x_1,x_2,...,x_n]^G$會形成一個環（ring)，
我們稱之為不變量環。在定理3.1.1中，我們會證明$k[x_1,...,x_n]^G$是$k[x_1,...,x_n]$的一個子環。\\
在第二章，我們將介紹多變數多項式的除法。這是一個重要的工具，少了多變數多項式的除法，我們無法瞭解一個多項式和一個多項式環的理想的關係。其中使用到一個很有用的工具，它就是Groebner Bases。透過Groebner Bases，餘式會被唯一決定，那我們便可以從餘式去討論函數與多項式環或理想之間的關係。在不變量中，對稱多項式是一個很好的例子，我將從對稱多項式中引導出不變量的性質。
在第三章，我們將討論$k[x_1,...,x_n]^G$的代數性質。首先我們會證明不變量是有限生成的k-代數(k-algebra)，也就是說可以找到有限多個多項$f_1,...,f_m$使得$k[x_1,...,x_n]^G=k[f_1,...,f_m]$。這裡我們會介紹兩個證明，一個需要$char(k)\ne 0$，這個證明也將引導我們找出$k[x_1,x_2,...,x_n]^G$的生成元，另一個證明則對$k$沒有限制，所以$k[x_1,...,x_n]^G$是Noetherian環。接著證明不變量是階化環(graded ring)，因為我們發現$k[x_1,...,x_n]^G$的生成元是齊次多項式。最後證明不變量是整數封閉（integrally closed）。
在第四章，我們會介紹一個很好用的方法來找出不變量的生成元。首先會證明Molien's Theorem，然後配合Hilbert Series一起來找生成元。在這裡， Groebner Bases變得很重要，我們要從Groebner Bases中去找不變量，我們會舉三個例子來做說明。
最後一個章節，我們要證明不變量環是\C。由Hilbert-Nullstellensatz定理知道，環和幾何代數體在某種意義下，有一一對應的關係，因此開啟了用交換代數的技巧去解決幾何問題之門。而\C所對應的幾何代數體會有一種不錯的奇異點（singularities），它讓一些近代同調代數的手法可以運作自如。故探討一個環是否為\C是僅次於Noetherian環的急切條件。

[[1]]M.F. Atiyah and I.G. MacDonakd, {\it{Introduction to Commutative
Algebra}},Addison-Wesley, New York, 1997.
[[2]]W. Bruns and J. Herzog, {\it{Cohen-Macaulay Rings}},
Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
[[3]]D. Cox, J. Little, and D. O'Shea. {\it{Ideals, varieties, and
Algorithms}}, Springer-Verlag, New York, 1997.
[[4]]I. Kaplansky, {\it{Commutative Ring}}, University of Chicago
Press, Chicago, 1974.
[[5]]H. Matsumura, {\it{Commutative Ring Theory}}, Cambridge University
Press, Cambridge, 1986.
[[6]]B. Sturmfels, {\it{Algorithms in Invariant Theory}}, Spring-Verlag,
New York, 1993.
[[7]]E. Thanheiser. {\it{Invariant Theory of Finite Groups: Algebraic
Properties of The Ring of Invariants}}, M.S. thesis, University of Kansas.
[[8]]莫宗堅, {\it{代數學}}, 聯經出版社, 台北, 1989.