本研究為林福來博士主持之國科會研究計劃「比例概念深層結構的了解研究」之一部
份, 以比的參數與比例關係式中內項可交換、交叉相乘相等之性質為主題，探討學生
、教師及師範生對於與數學定理相關的概念與例的了解狀況及探討中學數學教師和師
範生使用真實情境與正確概念說明數學定理的能力。
本研究的比的參數部份以結構性面診法面測了師大附中11. 位高生、省北師院24. 位
五專三年級學生及北縣新埔國中8 位國三學生，以上研究對象之比例推理能力均達第
四層。在比例關係式的性質部份以問卷調查法調查了省北師院23. 位五專三年級學生
、師大數學係18. 位四年級學生及參加師大辯理之國中教師研習班的35. 位現職國中
教學教師。
本研究所獲的主要結論在比的參數部份為：
(1) 比例推理能力達第四層的學生仍會忽略比的參數。
(2) 情境可以幫助學生發覺必需有比的參數。
(3) 國中學生認為K 是一個定數，高中以上學生就解題技巧的角度認為K 是任意數。
(4) 學生認為數學問題是要求出數值答案的。
在比例式的性質的實例說明部份則有下列結論：
(1) 內項可交換部份，國中教師七成以上學生活現象；師大生五成以上舉需其它專業
知識的現象。
(2) 反比的現象比正比現象難舉出。
(3) 少數國中教師與師範生無法在a￣b=c￣d 的表示中立刻察察覺「比例關係」是兩
個量之間的相對關係，而舉了四個獨立量的實例。
(4) 即使受測者掌握了「比例關係」是兩個量之間的相對關係，但仍有大部份無法從
ad=bc 中察覺這是反比關係。
(5) 受測的國中教師與師範生中, 大多數無法用自舉的實例說明定理中各命題間的因
果關係。
(6) 受測者對兩個數量的比之描述，通常只停留在表層的對照關係上，而忽略了「比
」所導出的新含意。
(7) 數學關係式以適當的符號表示，有助於學生了解其意義。