借根方與天元術皆是用以處理一元多次方程式的方法，前者在清朝康熙年間由傳教士所傳入，並載於康熙帝御製的《數理精蘊》中；後者則是在金、元時期發展成熟的中國傳統算學，以金、元算學家李冶的《測圓海鏡》與《益古演段》二書為代表性著作。雖然這兩者所處理的對象相同，但在康熙朝時，清朝算學家已無人能曉天元術，因此，在借根方傳入與流傳的初期，並未有算學家意識到借根方與天元術間關係，直到梅成提出「天元一即借根方解」的說法後，才陸續有許多算學家將這兩者相提並論，也開啟了借根方與天元術間的互動。

1723~1820年間的借根方與天元術的發展和互動，是清朝數學史中至為精彩的部分，算學家們在這兩種方法上所進行的會通、對話，甚至是辯論，不僅反映出當時的學術風氣（乾嘉學派學風與西學中源說）與數學發展（會通中西學與興復古法），更具有豐富的認識論面向。本文將先從今日的角度，對借根方與天元術進行比較，而透過比較這兩者，我們將發現這兩者個別的術語、長處和侷限，確實影響了算學家們對它們的理解，也因而影響了它們在清朝的發展與互動。

其次，在筆者所得見的算書中，此時期載有借根方或天元術的，計有何夢瑤的《算迪》、梅成的《赤水遺珍》、李銳的重校《測圓海鏡》與《益古演段》、《弧矢算術細草》、《句股算術細草》、焦循的《天元一釋》、張敦仁的《緝古算經細草》、駱騰鳳的《藝游錄》、《開方釋例》、安清翹的《學算存略》、張作楠的《量倉通法》、《方田通法補例》、《倉田通法續編》、羅士琳的《比例匯通》，本文將根據算學家在算學著作中所呈現的借根方或天元術內容，分析他們對這兩者的認識及看法。而透過對個別算學家的分析，我們將會看到相同的借根方或天元術，在不同算學家的詮釋之下，展現了不同的風貌，而這是見證了在知識的傳播中，知識接受者並非僅是被動地「複製」知識，相反地，知識接受者本身的固有知識、所處的文化背景，都會對知識接受者產生重大的影響。

(一) 史料

1. 《九章算術》武英殿聚珍版，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一，鄭州：河南教育出版社，1993。
2. 南宋‧秦九韶，《數學九章》，收入《景印文淵閣四庫全書》第797冊，台北：臺灣商務,，1983。
3. 元‧李冶，《測圓海鏡》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一，鄭州：河南教育出版社，1993。
4. 元‧李冶，《益古演段》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一，鄭州：河南教育出版社，1993。
5. 明‧程大位，《算法統宗》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷二，鄭州：河南教育出版社，1993。
6. 清‧方貞元，《方程演元》，收入《叢書集成續編》第76冊，台北：新文豐出版社，1989。
7. 清‧江藩，《清朝漢學師承記》，收入《經學叢書初編》第12冊，台北：學海出版社，1985。
8. 清‧江永，《數學》，收入《景印文淵閣四庫全書》第796冊，台北：臺灣商務,，1983。
9. 清‧安清翹，《矩線原本》，收入《四庫未收書輯刊》第玖輯第12冊，北京： 北京出版社，1997。
10. 清‧安清翹，《一線表用》，收入《四庫未收書輯刊》第玖輯第12冊，北京： 北京出版社，1997。
11. 清‧安清翹，《推步惟是》，收入《四庫未收書輯刊》第玖輯第12冊，北京： 北京出版社，1997。
12. 清‧安清翹，《學算存略》，收入《四庫未收書輯刊》第玖輯第12冊，北京： 北京出版社，1997。
13. 清‧何夢瑤，《算迪》，收入靖玉樹主編，《中國歷代算學集成》第四編，濟南市：山東人民出版社，1994。
14. 清‧汪萊，《衡齋算學》第一至六冊，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四，鄭州：河南教育出版社，1993。
15. 清‧汪萊，《衡齋算學》第一至七冊，收入《叢書集成續編》第76冊，台北：新文豐出版社，1989。
16. 清‧阮元，《疇人傳》，收入楊家駱主編，《疇人傳彙編》，台北：世界書局，1982。
17. 清‧阮元，《揅經室集》，收入王雲五主編，《國學基本叢書》，台北：臺灣商務，1967。
18. 清‧阮元，《浙士解經錄》收入《四庫未收書輯刊》第參輯第10冊，北京：北京出版社，1997。。
19. 清‧李潢，《九章算術細草圖說》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四，鄭州：河南教育出版社，1993。
20. 清‧李銳，《弧矢算術細草》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷五，鄭州：河南教育出版社，1993。
21. 清‧李銳，《開方說》收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷五，鄭州：河南教育出版社，1993。
22. 清‧吳嘉善，《天元一術釋例》，收入靖玉樹主編，《中國歷代算學集成》第四編，濟南市：山東人民出版社，1994。
23. 清‧屈曾發，《數學精詳》，收入《四庫未收書輯刊》第拾輯第9冊，北京：北京出版社，1997。
24. 清‧紀昀，《閱微草堂筆記》，台北：大中國圖書公司，1998。
25. 清‧徐世昌纂，《清儒學案小傳》，收入周駿富輯，《清代傳記叢刊》，台北：明文書局，1985。
26. 清‧康熙御製，《數理精蘊》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷三，鄭州：河南教育出版社，1993。
27. 清‧梅文鼎，《筆算》，收入《梅氏叢書輯要》卷一，台北：藝文印書館，1971。
28. 清‧梅成，《赤水遺珍》，收入《梅氏叢書輯要》卷六十一，台北：藝文印書館，1971。
29. 清‧梅成，《操縵言》，收入《梅氏叢書輯要》卷六十二，台北：藝文印書館，1971。
30. 清‧梅啟照，《學彊恕齋筆算》，收入《四庫未收書輯刊》第拾輯第9冊，北京：北京出版社，1997。
31. 清‧張敦仁，《緝古算經細草》收入靖玉樹主編，《中國歷代算學集成》第一編，濟南市：山東人民出版社，1994。
32. 清‧張敦仁，《求一算術》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷五，鄭州：河南教育出版社，1993。
33. 清‧張作楠，《量倉通法》，收入張作楠，《翠薇山房數學》，光緒丁亥 (1887)校刻苕溪醉六堂藏板。
34. 清‧張作楠，《倉田通法續編》，收入張作楠，《翠薇山房數學》，光緒丁亥 (1887)校刻苕溪醉六堂藏板。
35. 清‧張作楠，《方田通法補例》，收入張作楠，《翠薇山房數學》，光緒丁亥 (1887)校刻苕溪醉六堂藏板。
36. 清‧張維屏，《國朝詩人徵略初編》，收入周駿富輯，《清代傳記叢刊》，台北：明文書局，1985。
37. 清‧焦循，《天元一釋》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四，鄭州：河南教育出版社，1993。
38. 清‧焦循，《開方通釋》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四，鄭州：河南教育出版社，1993。
39. 清‧華蘅芳，《學算筆談》。
40. 清‧葉松亭，《天元一術圖說》，收入《叢書集成續編》第76冊，台北：新文豐出版社，1989。
41. 清‧諸可寶，《疇人傳三編》，收入楊家駱主編，《疇人傳彙編》，台北：世界書局，1982。
42. 清‧劉衡，《六九軒算書》，收入《續修四庫全書》第1046冊，上海市：上海古籍出版社，1995。
43. 清‧錢大昕，《潛研堂文集》，收入王雲五主編，《國學基本叢書》，上海：商務印書館，1936。。
44. 清‧錢大昕，《三統術鈐》，收入《叢書集成三編》第29冊，台北：新文豐出版社，1999。
45. 清‧駱騰鳳，《藝游錄》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷五，鄭州：河南教育出版社，1993。
46. 清‧駱騰鳳，《開方釋例》，道光二十三年刊。
47. 清‧戴震，《戴震文集》，台北：華正書局，1974。
48. 清‧謝家禾，《衍元要義》，收入《叢書集成續編》第76冊，台北：新文豐出版社，1989。
49. 清‧羅士琳，《比例匯通》，清嘉慶戊寅年 (1818) 刊本。
50. 清‧羅士琳，《疇人傳續編》，收入楊家駱主編，《疇人傳彙編》，台北：世界書局，1982。
51. 清‧羅士琳，《借根方法淺說》，收入《續修四庫全書》第1046冊，上海市：上海古籍出版社，1995。
52. 清‧章梫，《康熙政要》，收入《中華文史叢書》第十一輯，台北：華文書局，1968。
53. 清‧李鴻章、萬青黎等監修，張之洞等總纂，《光緒順天府志》，台北：文海出版社，1965。
54. 清‧徐有壬，《割圓八線綴術》，收入靖玉樹主編，《中國歷代算學集成》第四編，濟南市：山東人民出版社，1994。
55. 《四庫全書總目提要》，收入王雲五主編，《國學基本叢書》，台北：臺灣商務，1967。
56. 清‧鄧鍾玉，《浙江省金華縣志》，台北：成文出版社，1969。

(二) 近人著作

1. 丁福保、周雲青編，《四部總錄算法編》，北京：文物出版社，1984。
2. 王萍，《西方曆算學之輸入》，台北：中央研究院近代史研究所，1980。
3. 王俊義、黃愛平合著，《清代學術文化史論》，台北：文津出版社，1999。
4. 孔國平，《李冶、朱世杰與金元數學》，石家莊：河北科學技術出版社，2000。
5. 李儼、杜石然著，《中國古代數學簡史》，台北：九章出版社，1992。
6. 李儼，《中國數學大綱(下)》，收入杜石然、郭書春、劉鈍主編，《李儼、錢寶琮科學史全集》第三卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998。
7. 李兆華，《衡齋算學校證》，西安：陜西科學技術出版社，1997。
8. 李秀卿，《二次方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教世界為例》，台北：台灣師範大學數學所碩士論文，1997。
9. 李迪編，《算學書目匯編》，收入吳文俊主編，《中國數學史大系》副卷第二卷，北京：北京師範大學出版社，2000。
10. 吳文俊、李迪主編，《中國數學史大系》第六卷，北京：北京師範大學出版社，1999。
11. 吳文俊、李迪主編《中國數學史大系》第七卷，北京：北京師範大學出版社，1999。
12. 吳文俊、李兆華主編，《中國數學史大系》第八卷，北京：北京師範大學出版社，2000。
13. 洪萬生主編，《談天三友》，台北：明文書局，1993。）
14. 洪萬生，《孔子與數學：一個人文的懷想》，台北：明文書局，1999。
15. 梁啟超，《中國近代三百年學術史》，台北：里仁書局，1995。
16. 郭書春譯注，《九章算術》，瀋陽：遼寧教育出版社，1998。
17. 郭書春，《古代世界數學泰斗─劉徽》，台北：明文書局，1995。
18. 陳鳳珠，《清代算學家駱騰鳳及其算學研究》，台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2001。
19. 劉鈍，《大哉言數》，瀋陽：遼寧出版社，1997。
20. 劉德美，《阮元學術之研究》，台北：國立台灣師範大學歷史研究所博士論文，1986。
21. 鄭鳳凰，《李銳對宋元算學研究─從算書校注到算學創作》，新竹：國立清華大學歷史研究所碩士論文，1996。
22. 鄭天挺主編，《清史》，台北：昭明出版社，1999。
23. 錢寶琮《中國數學史》，收入杜石然、郭書春、劉鈍主編，《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998。
24. 賴貴三編著，《昭代經師手簡箋釋 : 清儒致高郵二王論學書》，台北：里仁書局，1999。
25. 韓琦，《康熙時代傳入的西方數學及其對中國數學的影響》，北京：中國科學院自然科學史研究所博士論文，1991。
26. 蘇俊鴻，《焦循《加減乘除釋》內容分析》，台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，1996。

(三) 期刊論文

1. 王俊義，〈乾嘉漢學論綱〉，收入王俊義、黃愛平合著，《清代學術文化史論》（台北：文津出版社，1999），頁33~54。
2. 王俊義，〈錢大昕學術思想述略〉，收入王俊義、黃愛平合著，《清代學術文化史論》（台北：文津出版社，1999）頁198~218。
3. 江曉原，〈試論清代”西學中源說”〉，收入《自然科學史研究》第7卷第2期(1988)，頁101~108。
4. 朱家生，〈天元一釋提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1411。
5. 朱家生，〈李銳《開方說》研究〉，收入洪萬生主編，《談天三友》（台北：明文書局，1993），頁285~310。
6. 朱維錚，〈「乾嘉史學」：方法與爭論〉，收入魏格林、施耐德主編，《中國史學史研討會：從比較觀點出發論文集》（台北：稻鄉出版社，1999），頁199~221。
7. 何紹庚，〈割圓密率捷法提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四（鄭州：河南教育出版社，1993），頁859~864。
8. 李儼，〈測圓海鏡批校〉，收入杜石然、郭書春、劉鈍主編，《李儼、錢寶琮科學史全集》第八卷（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁28~36。
9. 李儼，〈測圓海鏡研究歷程考〉，收入杜石然、郭書春、劉鈍主編，《李儼、錢寶琮科學史全集》卷八（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁37~222。
10. 李儼，〈清季陜西數學教育史料〉，《李儼錢寶琮科學史全集》第八卷，頁308~318。
11. 李兆華，〈汪萊方程論研究〉，收入洪萬生主編，《談天三友》（台北：明文書局，1993），頁195~225。
12. 吳裕賓，〈加減乘除釋提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四，鄭州：河南教育出版社，頁1289~1290。
13. 洪萬生，〈談天三友焦循、汪萊和李銳──清代經學與算學關係試論〉，收入洪萬生主編，《談天三友》（台北：明文書局，1993），頁43~124。
14. 洪萬生、劉鈍合著，〈汪萊、李銳與乾嘉學派〉，收入洪萬生主編，《談天三友》，（台北：明文書局，1993），頁9~35。
15. 洪萬生，〈焦循給李銳的一封信〉，收入洪萬生主編，《談天三友》（台北：明文書局，1993），頁141~148。
16. 洪萬生，〈全真教與金元數學─以李冶 (1192-1279) 為例〉，收入王秋桂主編，《金庸小說國際學術研討會論文集》（台北：遠流出版社，1998），頁67~83。
17. 洪萬生，〈HPM隨筆（一）〉，收入《HPM台北通訊》第一卷第二期 (1998)，頁1~4。
18. 洪萬生，〈HPM隨筆（二）〉，收入《HPM台北通訊》第二卷第四期 (1999)，頁1~3。
19. 洪萬生，〈清初西方代數之輸入〉，收入洪萬生著，《孔子與數學：一個人文的懷想》（台北：明文書局，1999），頁179~203。
20. 洪萬生，〈《代數學》：中國近代第一本西方代數學譯本〉，收入洪萬生著，《孔子與數學》（台北：明文書局，1999），頁。
21. 洪萬生，〈十三世紀的中國數學中心〉，收入洪萬生著，《孔子與數學─一個人文的懷想》（台北：明文書局，1999），頁203~239。
22. 洪萬生，〈數學典籍的一個數學教學的讀法：以《赤水遺珍》為例〉，收入《中國科技史同好會會刊》第一卷第二期 (2000)，頁35~43。
23. 洪萬生，〈清代數學家汪萊的歷史定位〉，收入《新史學》第十一卷第四期 (2000)，頁1~16。
24. 洪萬生，〈《無異解》中的三案初探：一個HPM的觀點〉，《科學教育學刊》第八卷第三期 (2000)，頁215~224。
25. 侯鋼，〈孔廣森、張敦仁、駱騰鳳的工作〉，收入吳文俊、李兆華主編，《中國數學史大系》第八卷（北京：北京師範大學出版社，2000），頁75~88。
26. 馬翔，〈測圓海鏡分類釋術提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷二（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1107。
27. 馬釗，〈乾隆朝地方高級官員與查禁天主教活動〉，載於《清史研究》第32期 (1998)，頁55~63。
28. 高宏林，〈康熙帝與數學〉，收入吳文俊、李迪主編，《中國數學史大系》第七卷（北京：北京師範大學出版社，1999），頁226~339。
29. 席振偉，〈《九數通考》及其著者〉，收入《中國科技史料》第14卷第4期 (1993)，頁19~22。
30. 郭書春，〈中國科學技術典籍通彙敘〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1~26。
31. 郭書春，〈九章算術細草圖說提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四（鄭州：河南教育出版社，1993），頁945~946。
32. 郭書春，〈關於《算經十書》的校勘〉，發表於「數學史國際學術研討會」(武漢，1998.10)。
33. 郭世榮，〈清中期數學家焦循與李銳之間的幾封信〉，收入洪萬生主編，《談天三友》（台北：明文書局，1993），頁125~140。
34. 郭世榮，〈李銳《觀妙居日記研究》〉，收入洪萬生主編，《談天三友》（台北：明文書局，1993），頁149~165。
35. 郭世榮，〈梅成的數學工作〉，收入吳文俊、李迪主編，《中國數學史大系》第七卷（北京：北京師範大學出版社，1999），頁357~368。
36. 莊吉發，〈清朝政府對天主教從容教政策到禁教政策的轉變〉，《清史論集（四）》，頁145~183。
37. 張秀琴，〈數學家張敦仁傳略〉，收入《中國科技史料》第十七卷第四期 (1996)，頁33~38。
38. 陳衛平，〈從”會通以求超勝”到”西學東源”說─論明末至清中葉的科學家對中西科學關係的認識〉，收入《自然辯證法通訊》第11卷第2期 (1989)，頁47~54。
39. 陳祖武，〈關於乾嘉學派的幾點思考〉，收入《清代經國際研討會論文集》（台北：中央研究院中國文哲研究所，1994），頁247~261。
40. 黃一農，〈清初欽天監中各民族天文家的權力起伏〉，《新史學》第二卷第二期 (1991)，頁75~108。
41. 黃一農，〈擇日之爭與「康熙曆獄」〉，《清華學報》新二十一卷第二期 (1991)，頁247~280。
42. 黃一農，〈清初天主教與回教天文家間的爭鬥〉，《九州學刊》第五卷第三期 (1993)，頁47~69。
43. 黃一農，〈楊光先家世與生平考〉，《國立編譯館館刊》，第十九卷第二期 (??)，頁15~28。
44. 黃克武，〈清代考證學的淵源──民初以來研究成果之評介〉，收入《近代中國史研究通訊》第11期 (1991)，頁140~154。
45. 黃愛平，〈論十八世紀中國社會的思想文化〉，收入王俊義、黃愛平合著，《清代學術文化史論》（台北：文津出版社，1999），頁167~184。
46. 黃愛平，〈翰林院《四庫全書》底本考述〉，收入王俊義、黃愛平合著，《清代學術文化史論》（台北：文津出版社，1999），頁384~400
47. 傅祚華，〈《疇人傳》研究〉，收入《明清數學史論文集》，頁219~260。
48. 華世銧，〈錢大昕的考據方法簡論〉，收入林慶彰編，《中國經學史論文選集》下冊（台北：文史哲出版社，1993），頁468~483。
49. 劉鈍，〈清初民族思潮的嬗變及其對清代天文─數學的影響〉，收入《自然辨證法通訊》第13卷第3期 (1991)，頁42~52。
50. 劉鈍，〈勾股算術細草提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷五（鄭州：河南教育出版社，1993），頁67~69。
51. 參閱劉鈍，〈開方說提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷五（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1~4。
52. 劉鈍，〈李銳與笛卡兒符號法則〉，收入洪萬生主編，《談天三友》（台北：明文書局，1993），頁263~283。
53. 錢寶琮，〈緝古算經提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一（鄭州：河南教育出版社，1993），頁353~356。
54. 錢寶琮，〈浙江疇人著述記〉，收入杜石然、郭書春、劉鈍主編，《李儼、錢寶琮科學史全集》第九卷（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁282~295。
55. 錢寶琮，〈戴震算學天文著作考〉，收入杜石然、郭書春、劉鈍主編，《李儼、錢寶琮科學史全集》第九卷（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁143~167。
56. 霍有光，〈從《四庫全書總目提要》看乾隆時期官方對西方科學技術的態度〉，收入《自然辯證法通訊》第19卷第5期 (1997)，頁56~65。
57. 韓琦，〈數理精蘊提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷三（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1~10。
58. 韓琦，〈白晉的《易經》研究和康熙時代的「西學中源」說〉，收入《漢學研究》，第十六卷第一期 (1998)，頁185~200。
59. 韓琦，〈從《律曆淵源》的編纂看康熙時代的曆法改革〉，收入《世界華人科學史學術研討會論文集》（台北，2001），頁139~146。
60. 魏保華，〈天元術與借根方比例〉，收入李迪主編，《數學史研究文集》第五輯 (呼和浩特：內蒙古大學出版社，1993)，頁115~122。
61. 嚴敦傑，〈李尚之年譜〉，收入洪萬生主編，《談天三友》，台北：明文書局，1993，頁355~383。
62. Carolyn Kieran, “Cognitive Process Involved in Learning School Algebra”, Mathematics and Cognition, pp.96~112.
63. Chen, Feng Chu, “Reading into the Qing Mathematical Text in an HPM Perspective: The Case with Luo Tengfeng’s (1770-1841) Yi You Lu”, Paper to be presented to the HPM 2000-History in Mathematics Education: A Challenge for a new millennium, August 9-14, 2000, Taipei.
64. Tian, Miao, “Jiegenfang, Tianyuan, and Daishu: Algebra in Qing China”, Historia Scientiarum, Vol. 9-1 (1999), pp.101~119.