給定體K , 設K 的特徵數為q＞0,F K(X ,X ,……,X ) 是佈於K 的m 個變數的有理函
數體, q m。σ是F 上布於K 的自同構, 定義為σ: X ←X ←…←X ←X 。設 G＝＜
σ＞, ε是1 的m 次原根。
K.Masuda論文中提出定理（定理4 ）: L＝F 是佈於K 的純超越擴張體的充要條件為
存在有L （ε）布於K （ε）的生成原集。本文即依據這個定理來證明F 是K 的純超
越擴張體。
m＝P P …P 則｜Z ｜＝φ（m ）＝P P …P （P –1 ）（P –1）…（P–
1）。Gal（L（ε）／L）←Z 是一對一映射, 所以可設｜Gal （L（ε）／L）｜＝n
＝P P …P b b …b ,0≒a ≒S –1,b ｜（P ◥–1）,1≒i≒r。
本文在引理6、7、8、12 中分別證明了y (i≠m)有n 個布於L 的共軛元。y 的共
軛元怖於K (ε)代數獨立的有關性質。引理9、13 則提出了m 與n 的關係式: 存在d,
C ,C ,…C N 使m＝nd＋C P ＋C P ＋…＋C P 。 有了這個關係式後我們希望對
每個i （1 i r ）均能有C 個L （ε）中的元素, 而這些元素滿足（１）對每一個
i,C 個元素均各恰有P 個布於L 的共軛元。(2) 此C ＋以＋……＋C 個元素的所有
共軛元所成的集合佈於K(ε) 代數獨立。(3) 此C ＋C ＋……＋C 個元素可取代L(ε
) 中相同個數的y 。利用有限交換群基本定理, 在引理10、14中, 我們證明對每一個
i （1 i r ）存在 L(ε) 使 有P 個布於L 的共軛元。而在引理15中, 我們
證明上述的條件(1)、(2)和(3) 。據此, 我們在定理5、7、9 中分別證明了在各種m
的情形下均存在有L (ε)佈於K (ε) 的生成原集。再由K.Ma suda 的定理, 我就得
到所要的結果（定理10）: F 是K 的純超越擴張體。