本文乃是延續臺灣大學朱樺教授與蘇格蘭Glasgow 大學的Cohen 先生在1988年及1989
之研究成果。朱教授與Cohen 先生在這段期間內曾分別發表論文, 證明了如下的結果
:
設F 為一個含有q 個元素的有限體, q 為奇數, F (X ,…,X )為其n 變數有理函數體
, O(n,Q)為二次式Q 所定義的正交群, 其中
Q＝X –X ＋X –…＋X –εX 當n 為偶數
Q＝X –X ＋X –…–X –εX 當n 為奇數
若 Q (N)＝Qε(X …X
則當n 4 時
F (X …X ) ＝ F （Q （0）…Q （n–1））
很明顯的, 這些固定體是原來F 的純超越擴張。
朱教授同時預言了(1) 的結果對所有n 皆正確。本論文的目的在證明n＝5時, 朱教授
之預言為真。
朱教授與Cohen 先生在n＝2及3 之多項式環之正交群固定域的研究上亦有所得。事實
上他們都是利用這種低一維的多項式環固定域去求得高一維的固定體。本論文中也採
用了這種方式，我們先求得了四維之多項式環固定域再利用此固定域去求五維固定體
。文中關於四維多項式環之固定域佔了相當的篇幅。
在求四變數多項式環固定域時，其基本架構仍採用Cohen 及朱教授的方法, 即找一個
環R 使F 〔x,y,z,t 〕對R 整數相關, 且商體Q（R）＝F (x,y,z,t) ,再利用R 的
整數對閉性而得到R 即是固定域。
本論文與前兩篇相關論文之最大不同即在尋找這個R,與證明整數相關性這兩件事上,
這也是本文第四節之重點。
在求得了四變數多項式環之固定域後, 便可很容易地利用生成元的次數與群的階數之
關系, 得到最後的結果。
論文所述的方法，似乎也可以往更高維數推廣，但仍有不少問題存在，這在論文之最
後部分亦有提及，但我對朱教授之假設仍抱持樂觀的看法。