摘要
清初，由於康熙帝對科學技術的重視及對天文、歷算等科學研究的鼓勵與支持，再加上傳入的西學經過了一段時間的熟悉、沉澱與接受的過程，因此《幾何原本》的公理體系和演繹推理的系統逐漸的影響此時期的中算家，尤其是以梅文鼎為代表的「會通中西」的中算家。這些人除一方面接受西方傳入數學的知識及概念，另一方面，又嘗試從古代典籍中尋找某些與西方相似或類似的記載，以證實西學源出於中國。且他們對傳統中算的研究方式，不再像明代一樣，只言其法而不言其義，而是轉而對算理的研究更加重視。
杜知耕便是身處在「西學精矣，中土失傳」的時代背景下，遺留下來算家諸書中所載的九章之法，多「只言其法而不言其義」或「不得其理而強為之解」，使後之學者大都習之而不察其弊，或株守成法而不知其道。因此，杜知耕以其本身多年研究中西數學之經驗，並以其形、理、數三者合一的中心思想，以當時流傳有關《九章算術》的題目題型與概念為研究主體，又吸收歐幾里得《幾何原本》的線、面、體三部的概念、題目及邏輯推理的論證方式，用圖文並陳之方式講明古九章算法的原理，作成《數學鑰》一書。
《數學鑰》成書於康熙二十年（公元1681年）。全書共六卷，約73000餘字。凡例43則，題目264個，附5個分法的問題，共記312則。內容編排主要按照九章的體例，分別是方田、粟布、衰分、少廣、商功、均輸、盈朒、方程、勾股九章，與傳統中算著作相同，都是採用問題集的方式編寫題目。此外，並仿照《幾何原本》中「界說」的體例，於每卷卷首先列出凡例數則，主要是介紹該卷中題目所需用到的數學名詞、概念及其他要交代的事項。至於所收集的題目包含中西，並以方田章、少廣章、勾股章等幾何類題目居多，此與《九章算術》著重粟布章、衰分章等比例分配的算術問題有很大的不同。
本論文深入分析杜知耕的算學著作《數學鑰》，發現此書不僅是一本會通中西的數學著作，且從題目的難度與所用的概念由易而難、由淺入深，循序漸近，概念、定理與公式亦交互引用。並用圖文並陳之方式附予古九章算法新意。顯見杜知耕作《數學鑰》一書的目的除了致力於古九章算法之普及外，也希望此書成為一本容易入門的數學書。此外，就其題目的編排方式、題目的敘述方式與所用之數據組合來看，《數學鑰》或可說是《九章算術》向現代教科書形式過渡的一部著作。
再對照杜知耕的生平、著作及其與同時期中算家的互動情形，同時透過同時代有名學者對其所作的評價。可發現杜知耕以其對中算、西算的了解，致力於九章算法的整理及論證，完成《數學鑰》一書。其後並以此書作為基礎，將原《幾何原本》刪繁就簡，進而完成《幾何論約》一書。此種將中國的《九章算術》的算法與西洋傳入《幾何原本》的概念連結。以中國傳統數學為基礎，融入西方的數學知識，賦予中國傳統數學新的風貌，並設法普及傳統中算及西算的努力，對於中國古算的傳承功不可沒，對會通中西的貢獻亦不容忽視。在本論文深入探討之後，我們不僅對杜知耕及其算學研究有了全面而深入的了解，同時也勾勒出清初「會通中西」算學家研究的風貌。

參考資料
一、史料
魏‧劉徽注、唐李淳風釋，《九章算術》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
魏‧劉徽，《海島算經》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
《孫子算經》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
南宋‧楊輝，《詳解九章算法》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
明‧王文素，《算學寶鑑》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
明‧吳敬，《九章算法比類大全》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
明‧程大位，《算法統宗》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
明‧李之藻等編譯，《同文算指》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
明‧唐順之，《勾股六論》，收入《荊川先生文集》，台北：臺灣商務印書館，1965年。
明‧徐光啓等編；永瑢、紀昀等輯，《新法算書》，收入《景印文淵閣四庫全書》子部 第787、788冊，台北：商務印書館，1963年。
明‧徐光啓，《測量法義》，收入《徐光啟著譯集》上函之八，上海：上海古籍出版社，1983年。
明‧徐光啓，《勾股義》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
明‧徐光啓，《測量法義》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
明‧顧應祥，《勾股筭術》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
明‧顧應祥，《弧矢筭術》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
清‧方中通，《數度衍》，收入靖玉樹主編，《中國歷代算學集成》中卷，濟南：山東人民出版社，1994年。
清‧杜知耕，《數學鑰》，收入靖玉樹主編，《中國歷代算學集成》中卷，濟南：山東人民出版社，1994年。
清‧元淮等重纂修，《柘城縣志》十卷，清光緒丙申(二十二)年(1896年)刊本。
清‧梅文鼎，《方程論》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》 數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
清‧梅文鼎，《少廣拾遺》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》 數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
清‧梅文鼎，《勾股舉隅》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》 數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
清‧梅文鼎，《平三角舉要》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》 數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
清‧梅文鼎，《弧三角舉要》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》 數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
清‧梅文鼎，《方圓冪積》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》 數學卷第四分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
清‧梅文鼎，《曆學疑問》，收入梅瑴成主編，《梅氏叢書輯要》卷四十六－卷四十八，台北：藝文印書館，1971年。
清‧梅文鼎，《曆學疑問補》，收入梅瑴成主編，《梅氏叢書輯要》卷四十九、卷五十，台北：藝文印書館，1971年。
清‧梅文鼎，《績學堂文鈔》，收入《四庫全書》集部 別集類263，台南：莊嚴出版社，1997年。
清‧康熙御制，《數理精蘊》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第三分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
清‧李善蘭、偉烈亞力編譯，《幾何原本》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第五分冊，鄭州：河南教育出版社，1993年。
清‧阮元，《疇人傳》，收入楊家駱主編，《疇人傳彙編》上冊，台北：世界書局，1982年。
清‧羅士琳，《疇人傳續編》，收入楊家駱主編，《疇人傳彙編》，台北：世界書局，1982年。
清‧諸可寶，《疇人傳三編》，收入楊家駱主編，《疇人傳彙編》，台北：世界書局， 1982年。
清‧戴震，《勾股割圜記》，收入靖玉樹主編，《中國歷代算學集成》下，濟南：山東人民出版社，1994年。

二、近人著作
卜正民，《縱樂的困惑：明朝的商業與文化》，台北：聯經出版社，2004年。
王文珮，《楊輝算學探微：一個HPM的觀點》，台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文，2002年。
王青建，《數學史簡編》，北京：科學出版社，2005年。
王連發，《勾股算學家—明顧應祥及其著作研究》，台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文，2002年。
朱維錚，《利瑪竇中文著譯集》，香港：香港大學出版社，2001年。
李人言（本名李儼），《中國算學史》，台北：台灣商務出版社，1990年。
李文林主編，《數學珍寶》，台北：九章出版社，2000年。
李文林，《數學史概論》第二版，北京：高等教育出版社，2005年。
李廸、郭世榮，《清代著名天文數學家梅文鼎》，上海：上海科學技術文獻出版社，1988年。
李迪主編，《數學史研究文集》第一輯，呼和浩特：內蒙古大學出版社，1990年。
李迪主編，《數學史研究文集》第二輯，呼和浩特：內蒙古大學出版社，1991年。
李迪主編，《數學史研究文集》第三輯，呼和浩特：內蒙古大學出版社，1992年。
李迪主編，《數學史研究文集》第四輯，呼和浩特：內蒙古大學出版社，1993年。
李迪主編，《數學史研究文集》第五輯，呼和浩特：內蒙古大學出版社，1993年。
李迪，《中國數學通史：明清卷》，南京：江蘇教育出版社，2004年。
李迪，《梅文鼎評傳》，南京：南京大學出版社，2006年。
李兆華，《中國數學史》，台北：文津出版社，1995年。
李繼閔，《《九章算術》及其劉徽注研究》，台北：九章出版社，1992年。
李儼、錢寶琮，《科學史全集》第一卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
李儼、錢寶琮，《科學史全集》第二卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
李儼，《科學史全集》第三卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
李儼，《科學史全集》第六卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
李儼，《科學史全集》第七卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
李儼，《科學史全集》第八卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
李儼，《科學史全集》第十卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
李儼、杜石然，《中國古代數學簡史》，台北：九章出版社，1992年。
杜石然主編，《中國古代科學家傳記》上、下集，北京：科學出版社，1992年。
杜石然主編，《李儼、錢寶琮科學史全集》，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
沈康身，《九章算術導讀》，武漢：湖北教育出版社，1994年。
吳文俊主編，《中國數學史大系》第二卷，北京：北京師範大學出版社，1998年。
吳文俊主編，《中國數學史大系》副卷第二卷，北京：北京師範大學出版社，2000年。
吳文俊主編，《中國數學史大系》第七卷，北京：北京師範大學出版社，2000年。
吳文俊主編，《中國數學史大系》第八卷，北京：北京師範大學出版社，2000年。
洪萬生主編，《孔子與數學》，台北：九章出版社，1999年。
洪萬生主編，《從李約瑟出發—數學史、科學史文集》，台北：九章出版社，1999年。
洪萬生，《此零非彼○》，台北：臺灣商務印書館，2006年。
洪萬生、林倉億、蘇惠玉、蘇俊鴻等著，《數之起源》，台北：臺灣商務印書館，2006年。
梁宗巨，《數學歷史典故》，台北：九章出版社，1996年。
梁宗巨，《世界數學通史》上、下冊，瀋陽：遼寧教育出版社，2001年。
梅榮照主編，《明清數學史論文集》，南京：江蘇教育出版社，1990年。
梅榮照、李兆華，《算法統宗校釋》，台北：九章出版社，1992年。
許雪珍，《明代算書《算學寶鑑》內容分析》，台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，1997。
彭良禎，《《幾何要法》的算學研究》，台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2006年。
張豈之，《中國歷史：元明清卷》，北京：上海高等教育出版社，2002年。
張國剛、喬治忠等著，《中國學術史》，上海：東方出版中心，2002年。
黃清揚，《中國1368~1806年間的勾股述發展之研究》，台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2002年。
楊玉星，《清代算學家方中通及其算學研究》，台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文，2003年。
陳青之(本名陳東原)，《中國教育史》，台北：臺灣商務印書館，1973年。
陳威男，《明代算書《算法統宗》內容分析》台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文，2002年。
陳敏晧，《《同文算指》之內容分析》台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文，2002年。
郭書春，《古代世界數學泰斗劉徽》，濟南：山東科學技術出版社，1992年。
郭書春，《中國古代數學》，台北：臺灣商務出版社，1994年。
郭書春譯注，《九章算術》，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
郭書春、劉鈍校點，《算經十書》，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
郭世榮，《《算法統宗》導讀》，武漢：湖北教育出版社，2000年。
劉鈍，《大哉言數》，瀋陽：遼寧教育出版社，1993年。
錢寶琮，《科學史全集》第四卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
錢寶琮，《科學史全集》第五卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
錢寶琮，《科學史全集》第九卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998年。
錢寶琮主編，《中國數學史》，北京：科學出版社，1992年。
鍾秀瓏，《陳藎謨 《度測》之內容分析》，台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文，2007年。
韓琦，《康熙時代傳入的西方數學及其對中國的影響》，北京，中國科學院自然科學史研究所，1991年。
三、期刊論文
王渝生，〈《勾股義》提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊（鄭州：河南教育出版社，1993），頁25。
王渝生，〈《測量法義》提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1~3。
孔國平，〈「會通中西」的天算家梅文鼎〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系－第七卷》，頁144~145。
杜石然，〈明代數學及其背景〉，《數學．歷史．社會》（瀋陽：遼寧教育出版社，2003）頁316~328。
杜石然，〈徐光啟〉，《中國古代科學家傳記》下集，北京：科學出版社，1993，頁888~900。
杜石然，〈梅文鼎〉，《中國古代科學家傳記》下集，北京：科學出版社，1993，頁1030~1040。
李兆華，〈《算法統宗》提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1213~1215。
李迪，〈明代中後期的其他數學著作〉，收入吳文俊主編，《中國數學史大系》第六卷（北京：北京師範大學出版社，1999），頁480~485。
李儼，〈中算家的畢達哥拉斯定理研究〉，收入《李儼、錢寶琛科學史全集》第六卷（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁46~76。
李儼，〈中算家的平方零約術〉，收入《李儼、錢寶琛科學史全集》第六卷（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁77~114。
李儼，〈近代中算著述記〉，收入《李儼、錢寶琮科學史全集》第六卷，（瀋陽：遼寧教育出版社，1998），頁494~717。
馬翔，〈《勾股算術》提要〉，收入郭書春主編。《中國科學技術典籍通彙》數學卷二（鄭州：河南教育出版社，1993），頁973。
馬翔，〈《弧矢算術》提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1079。
高宏林，〈康熙帝與數學〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系》第七卷（北京：北京師範大學出版社，1999），頁226-339。
高宏林，〈杜知耕與《數學鑰》〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系》第七卷（北京：北京師範大學出版社，1999），頁205-214。
高宏林，〈李子金與《算法通義》〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系－第七卷》，頁115~130。
高宏林，〈梅文鼎學派的主要成員孔林宗〉，收入《中國科技史料》1996，17（4），頁24~28。
徐光啟，《測量法義》，收入《徐光啟著譯集》上函之八（上海：上海古籍出版社，1983），頁1。
梅榮照、王渝生、劉鈍，〈歐幾里得《原本》的傳入和對我國明清數學的影響〉，收入梅榮照主編，《明清數學史論文集》（南京：江蘇教育出版社，1990），頁182~218。
梅榮照，〈明清數學概論〉，收入梅榮照主編，《明清數學史論文集》（南京：江蘇教育出版社，1993），頁1~20。
郭書春，〈《九章算法比類大全》提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》第二分冊（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1~3。
劉鈍，〈梅文鼎在幾何學領域中的若干貢獻〉，收入梅榮照主編《明清數學史論文集》，頁184。
韓琦，〈《數理精蘊》提要〉，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》第三分冊（鄭州：河南教育出版社，1993），頁1~10。