摘 要
本研究目的在探討國中生在學過「二次方根的概念及運算」的課程之後，會出現哪些錯誤類型。本研究採用二階段評量來診斷國二學生對於二次方根的意義與四則運算的迷思概念，並整理歸納成為錯誤類型，再針對所得的資料進行分析錯誤類型的成因，設計補救教學教材，並進行補救教學活動，來改正學生對於二次方根所存在的迷思概念。
根據本研究，國二學生在二次方根的主要錯誤類型可分成以下四大類，共11種：(ㄧ)對於單一概念或定義的不了解：(1)不了解無理數是一個明確且固定的數值；(2)不了解同類方根的定義。(二)無法將不同的概念、定義或表徵方式作正確的連結或區分：(3)認為0沒有平方根；(4)對於平方根的意義和 所代表的意義之間產生混淆；(5)認為每一個數都有平方根；(6)不了解數線上有無理數點的存在；(7)將分母有理化和同類方根的合併搞混。(三)計算程序上的錯誤：(8)方根減法運算時，直接將同類方根的部分消掉；(9)忽略分母的整體性。(四)將先前的經驗作過度的類推：(10)將根號和平方直接消掉；(11)只用一個例子成立就來推斷性質的成立。而造成這些錯誤類型的原因有：對於二次方根的定義不清楚；將以前解題的經驗作過度的類推；無法將無理數和數線作正確的連結；不清楚同類方根的定義。
就補救教學的成效而言，在經過補救教學活動之後，後測各題的答題正確率皆高於前測，而在13題的試題中，就有8題的答題正確率提高30%以上(含30%)。參與補救教學的學生，其後測的答題正確率皆高於前測。就錯誤類型的變化情形來看，有10個類型的答題正確率皆高於前測。可見二次方根的補救教學活動對於改善學生在二次方根常犯的錯誤有顯著的成效。
分析後測和延後測的結果來看，除了第1題之外，其餘的12題，學生在後測與延後測的答題情形差異不大；以錯誤類型來看，學生在延後測中其餘的錯誤類型犯錯的人數並沒有大幅的改變，也意味著補救教學的成效經過了一個月左右，學生對於二次方根補救教學的學習有不錯的保留效果。
關鍵字：二次方根、二階段評量、錯誤類型、補救教學。

參考文獻
一、 中文部分
九章出版社編輯部(1995)。錯解辨析。台北：九章出版社。
王文科(2002)：教育研究法(七版)。台北市：五南出版社。
行政院教育改革審議委員會編(1996)。教育理念與地方教育實務研討會會議記錄。行政院教育改革審議委員會。
余民寧(1995) ：心理與教育統計學，三民出版社，台北市。
余民寧(2002)：教育測驗與評量─成就測驗與教學評量。台北市：心理出版社。
呂溪木(1983)。從國際科展看我國今後科學教育的發展方向。科學教育月刊，64期，13-19頁。
李浩然(2003)：高雄市國一學生分數乘除法運算錯誤概念類型之分析研究。國立高雄師範大學數學教育研究所碩士論文。
李翠玲(民82)：如何教國中低成就班級─英語教學錦囊。人文及社會學科教學通訊，4期，頁39-52。
杜政治(1993)：補救教學的實施。刊於李永吟(1993)。學習輔導：學習心理學的應用。台北：心理出版社。
俞宗賢(2007)：數學低成就學生一元一次方程式補救教學之研究。國立高雄師範大學數學教育研究所碩士論文。
南一出版社(2007)：國中數學教師手冊第三冊。台南市，南一出版社。
南一出版社(2007)：國中數學課本第三冊。台南市，南一出版社。
柳 賢(2000)：數學科教學評量理論與實務，高師大科教中心承辦「八十九年度南區中學數理科評量理論與實作研討會」成果報告。高雄。
徐貞美(1993)：如何提高國中低成就學生學習英語的動機與效果。人文及社會學科教學通訊，4期，頁6-14。
康軒出版社(2007)：國中數學教師手冊第三冊。台北縣，康軒出版社。
康軒出版社(2007)：國中數學課本第三冊。台北縣，康軒出版社。
張春興、林清山(1989)：教育心理學。台北：東華出版社。
張素鎔(1987)：初等代數的學習困難。科學教育月刊，100期，頁23-29。
張惠博(1999)：迷思概念的研究方法。發表於行政院國科會主辦「科學概念研究」研習會。台北市：國立台灣師範大學。
張景媛 (1994)。數學文字題錯誤概念分析學生建構數學概念的研究。國立台灣師範大學心理與輔導學系教育心理學報，27期，頁175-200。
張新仁 (2000)。補救教學面面觀。載於九年一貫課程改革下補救教學方案研討會論文彙編。國立高雄師範大學。
張新仁(1995)：教學原理與策略。載於王家通主編之教育導論。台北：五南出版社。
張新仁、邱上真、李素慧(2000)。國中英語科學習困難學生之補救教學成效研究。教育學刊，16期，頁163-191。
張鳳燕 (1991)。教育心理學微觀。師友，284期，頁24-29。
張賴妙理，鄭湧涇(2000)：運用診斷測驗探究國一學生對光合作用的另有概念。第十六屆科學教育學術研討會。台北。
教育部(2002)。國民中小學九年一貫課程暫行綱要修訂版：數學學習領域。台北市：教育部。
教育部(2003)。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。台北市：教育部。
許天威(1986)。學習障礙者之教育。台北：五南出版社。
郭生玉(2004)：教育測驗與評量。台北：精華書局。
郭汾派(1991)：國中生文字符號運算的錯誤類型。數學科教學輔導論文集。台北：國立台灣師範大學中等教育輔導委員會。
郭昇欣(2005)：國小六年級學童分數二階段評量診斷工具之發展研究。國立台南大學數學教育研究所碩士論文。
陳忠志(2000)：科學概念評量。高師大科教中心承辦八十九年度南區中學數理科評量理論與實作研討會論文。高雄。
陳忠雄(2003)：高中學生三角函數概念學習錯誤類型研究。國立高雄師範大學數學教育研究所碩士論文。
陳俊廷(2002)：高中學生空間向量學習困難的診斷測驗工具發展研究。國立高雄師範大學數學教育研究所碩士論文。
陳建蒼(2001)：高一學生對數概念層次教學成效之研究。國立高雄師範大學數學教育研究所碩士論文。
陳聖雄 (2005)：高一學生解一元二次不等式的主要錯誤類型及其補救教學之研究。國立台灣師範大學數學研究所碩士論文。
楊坤原、張賴妙理(2001)：二階段式遺傳學迷思概念診斷工具的發展與效化。第十七屆科學教育學術研究會。彰化。
董小平、孫名符、鄭素琴、王瞱和孫傑遠合編(1996)：數學教育學原理。台北：建宏出版社。
翰林出版社(2007)：國中數學教師手冊第三冊。台南市，翰林出版社。
翰林出版社(2007)：國中數學課本第三冊。台南市，翰林出版社。
蕭志芳(2003)：中高年級國小學同時間概念之探討。國立台北師範學院數理教育研究所碩士論文。
蘇慧娟(1998)：高雄地區國二學生方根概念及運算錯誤類型之分析研究。國立高雄師範大學數學教育研究所碩士論文。

二、 西文部分
Ashlock, R. B. (1990). Error patterns in computation: A semi-programmed approach (4th ed ). Columbus, Ohio: Merrill.
Ausubel, D. P. (1963). The psychology of meaningful verbal learning. New York: Grune & Stratton.
Ausubel, D. P. (1968). Educational Psychology: A Cognitive View. New York: Holt, Rinehart & Winston.
Brown, J. S., & Burton, R. R. (1978). Diagnostic Model for Procedural Bugs in Basic Mathematical Skill. Cognitive Science, 2, 155-192.
Davis, R. B. (1984). Learning mathematics: The Cognitive Science approach to mathematics education. Norwood, New Jersy: Ablex Publishing Corporation.
Duncan, I. M., & Johnstone A. H. (1973). The mole concept. Education in Chemistry, 10(6), 213-214.
Engelhardt, J. M. (1982). Using computational errors in diagnostic teaching. The Arithmetic Teacher, 29(8), 16-19.
Head, J. (1986). Research into Alternative Frameworks: promes and problems. Research In Technological Education, 4(2), 203-211.
Henderson, K. B. Concept. In M. Rosskopf (Ed.) (1970). The teaching of secondary school mathematics, Thirty-third Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics. Washington, D. C.
Judd, D. H. (1908). The relation of special training to general intelligence. Educational Review, 36, 28-42.
Klausmeier, H. J., Ghatala, E. S., & Frayer, D. A. (1974). Conceptual learning and development. New York: Academic Press.
Matz, M. (1982). Towards a process model for high school algebra errors. In Sleeman, D., & Brown, J. S. (Eds.), Intelligent Tutoring System. London: Academic Press.
Mayer, R. E. (1985). Educational Psychology: Cognition approach. NY : Freeman.
McLaughlin T. F., & Vacha, E. F. (1992). The at-risk student: A proposal for action. Journal of instructional psychology, 19, 66-68.
Merrill, M. D., & Wood, N. D. (1974). Instruction strategies: A preliminary taxonomy. Columbus, Ohio: ERIC Information Analysis Center for Science, Mathematics, and Environmental Education, Ohio State University.
Mervis, C. B., & Hupp, S. C. (1981). Development of Generalized Concepts by Severely Handicapped Students. Journal of the Association for the Severely Handicapped (JASH); Vol. 6 No. 1.
Odom, A. L., & Barrow L. H. (1995). Development and Application of a Two-Tier Diagnostic Test Measuring College Biology Students’ Understanding of Diffusion and Osmosis after a Course of Instruction. Journal of Research in Science Teaching, 32(1), 45-61.
Olivares, R. A. (1993). The language and content connection in the education of limited English proficient students. In R. M. Anderson, (Ed.), English language arts and the at-risk student. Schenectady, N. Y.: New York State English Council.
Otto, W, McMenemy, R. A., & Smith R. J. (1973). Corrective and Remedial Teaching. Boston: Houghton Mifflin.
Pines, A. L. (1980). A Model for Program Development and Evaluation: The formative role of summative evaluation and research in science education. Paper presented at the 12th Annual Conference of the International Congress for Individualized. Windsor, Canada.
Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I. (1989). Conceptual bases of arithmetic errors: The case of decimal fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 20(1), 8-27.
Rollnick, M., & Mahooana, P. P. (1999). A quick and effective way of diagnosing student difficulties: two tier from simple multiple choice questions. South African Journal of Chemistry, 52(4), 161.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.
Skemp, R. R. (1976). Relational and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 20-26.
Skemp, R. R. (1979). Goals of learning and qualities of understanding. Mathematics Teaching, 88, 44-49.
Slavin, R. E. (1989). Student at-risk for school failure. In R. E. Slavin, N. F. Karweit, & N. E. Madden (Eds), Effective programs for students at-risk (pp.3-19). Boston: Allyn & Bacon.
Sowder, L. K. (1980). Concept and principle learning. In R. J. Shumway (Ed.). Research in Mathematics Education. Reston, Virginia: National Council of Teachers of Mathematics.
Sutton, C., & West, L. (1982). Investigating childrens existing ideas about science. (ERIC Document Reproduction Service No. ED 230424).
Thorndike, E. L.,& Woodworth, R. S.(1901). The influence of Improvement in one mental function upon the efficiency of other functions. Psychological Review, 8, 247-261.
Treagust, D. F. (1988). Development and use of diagnostic tests to evaluate students’ misconceptions in science. International Journal of Science Education, 10(2), 159-169.
Treagust, D. F. (1997). Diagnostic assessment of students’ science knowledge. Paper presented at the 1997 International workshop on student’s concept development, understanding diagnosis and teaching. Feb. 17-20, Taipei.
Treagust, D. F. ; Haslam, F. (1986, March). Evaluating Secondary Students’ Misconceptions of Photosynthesis and Respiration in Plants Using a Two-Tier Diagnostic Instrument. Paper presented at the Annual Meeting of the National Association for Research in Science Teaching (59th, San Francisco, CA).
Treagust, D. F. ; Haslam, F. (1987). Diagnosing secondary students’ misconceptions of photosynthesis and respiration in plants using a two-tier multiple choice instrument. Journal of Biological Education, 21, 203-211.